おそらく、ドメイン内のユーザである為に、SQLServer のODBC の 仕様を無視して Windows 認証に変更してしまっているような現象です。複数の PC のうち発現したのは一つだけなので、なんとも言えませんが。

レジストリ エントリと SQL Server の接続文字列のキーワード

上記の Microsoft のドキュメントでは、『Trusted_Connection』が無い場合の仕様として、『既定値は SQL Server 認証です』とはっきり書かれていますが、問題の PC では、エラーメッセージの後以下のダイアログが出ます



『Windows 認証を使用する』にチェックが入っており、Access が SQLServer にアクセスする毎にエラーダイアログが出て、あとからこのダイアログが出ます。この経路でも、チェックを外せば接続できますが、余計な操作をイヤと言うほど行う必要があります。

対処方法

レジストリエディタで、Trusted_Connection=no のエントリを作成する。

このエントリを作成すると、問題は回避されました。場所は、ユーザ DSN の場合は、
HKEY_CURRENT_USER\Software\ODBC\ODBC.INI
の下にある DSN 名の中になります。